Question

設函數f（x）=ax³-2bx²+cx+4d，（a，b，c，d∈R）的圖象關于原點對稱，且x=1時，f（x）取極小值-

1

3

．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）當x∈[-1，1]時，圖象上是否存在兩點，使兩點處的切線互相垂直？試證明你的結論；
（Ⅲ）若x₁，x₂∈[-1，1]，求證：|f(x1)-f(x2)|≤

4

3

．

Answer 1

分析：（1）根據奇偶性判斷bd的值，再有在1處的極值求出a．
（2）用假設法證明，假設存在兩點，在得出結果與假設矛盾．
（3）函數在1和-1處取代極值，判斷其為最值，根據兩最值之差最大，證明問題．

解答：（I）解：因為圖象關于原點對稱，所以f（x）為奇函數，所以b=0，d=0
所以f（x）=ax³+cx，因此f'（x）=3ax²+c
由題意得

f(1)=a+c=- 1 3 f′(1)=3a+c=0

，
解得a=

1

6

，c=-

1

2

（II）不存在．
證明：假設存在x₁，x₂，則f'（x₁）•f'（x₂）=-1
所以（x₁²-1）（x₂²-1）=-4
因為x₁，x₂∈[-1，1]所以x₁²-1，x₂²-1∈[-1，0]
因此（x₁²-1）（x₂²-1）≠-4
所以不存在．
（III）證明：f′(x)=

1

2

x2-

1

2

由f′(x)=

1

2

x2-

1

2

=0得x=±1fmin(x)=f(1)=-

1

3

，fmax(x)=f(-1)=

1

3

所以|f(x1)-f(x2)|≤fmax(x)-fmin(x)=f(-1)-f(1)=

2

3

＜

4

3

點評：該題考查函數奇偶性對應的奇數次項系數的值以及偶數次項系數的值，考查反正發的使用，考查兩數之間最值之差最大，為中等題，