Question

（本小題滿分15分）

如圖，已知橢圓=1（2≤m≤5），過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及直線的交點從左到右的順序為A、B、C、D，設．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）求的最值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）f(m)=，m∈［2,5］

（Ⅱ）f(m)的最大值為，此時m=2;f(m)的最小值為，此時m=5

【解析】解  （Ⅰ）設橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則a²=m,b²=m－1,c²=a²－b²=1

∴橢圓的焦點為F₁(－1,0),F₂(1,0) 

故直線的方程為y=x+1,又橢圓的準線方程為x=±,即x=±m 

∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)

考慮方程組,消去y得  (m－1)x²+m(x+1)²=m(m－1)

整理得  (2m－1)x²+2mx+2m－m²=0

Δ=4m²－4(2m－1)(2m－m²)=8m(m－1)²

∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，x_B+x_C= 

又∵A、B、C、D都在直線y=x+1上

∴|AB|=|x_B－x_A|==(x_B－x_A)·,|CD|=(x_D－x_C)

∴||AB|－|CD||=|x_B－x_A+x_D－x_C|=|(x_B+x_C)－(x_A+x_D)|

又∵x_A=－m, x_D=m,∴x_A+x_D=0

∴||AB|－|CD||=|x_B+x_C|·=||·= (2≤m≤5)

故f(m)=，m∈［2,5］ 

（Ⅱ）由f(m)=，可知f(m)= 

又2－≤2－≤2－，∴f(m)∈［］

故f(m)的最大值為，此時m=2;f(m)的最小值為，此時m=5