Question

對于函數f（x）=（asin x+cos x）cos x-

1

2

，已知f（

π

6

）=1．
（1）求a的值；
（2）作出函數f（x）在x∈[0，π]上的圖象（不要求書寫作圖過程）．
（3）根據畫出的圖象寫出函數y=f（x）在[0，π]上的單調區間和最值．

Answer 1

分析：（1）f（x）=（asin x+cos x）cos x-

1

2

=

a

2

sin2x+

1

2

cos2x，由f(

π

6

)=1能求出a=

3

．
（2）由f(x)=sin(2x+

π

6

)，能作出函數f（x）在x∈[0，π]上的圖象．
（3）結合圖象，能夠寫出函數y=f（x）在[0，π]上的單調區間和最值．

解答：解：（1）f（x）=（asin x+cos x）cos x-

1

2

=asinxcosx+cos²x-

1

2

=

a

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

1

2

=

a

2

sin2x+

1

2

cos2x，
∵f(

π

6

)=1，∴

a

2

sin

π

3

+

1

2

cos

π

3

=1，
即

a

2

•

3

2

+

1

2

•

1

2

=1，解得a=

3

．…（4分）
（2）由（1）知，f(x)=sin(2x+

π

6

)
函數f（x）在x∈[0，π]上的圖象如右圖，
…（8分）
（3）由圖可知，y=f（x）在[0，π]上的增區間為[0，

π

6

]，[

2

3

π，π]，
減區間為[

π

6

，

2

3

π]…（10分）
當x=

π

6

時，f（x）_max=1；當x=

2

3

π時，f（x）_min=-1．…（12分）

點評：本題考查三角函數的圖象和性質的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意三角函數恒等變換的合理運用．