Question

如圖，梯形ABCD的底邊AB在y軸上，原點O為AB的中點，M為CD的中點.

（1）求點M的軌跡方程；

（2）過M作AB的垂線，垂足為N，若存在正常數，使，且P點到A、B 的距離和為定值，求點P的軌跡E的方程；

（3）過的直線與軌跡E交于P、Q兩點，求面積的最大值．

 

Answer 1

（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）求動點軌跡方程的步驟，一是設動點坐標M(x, y)，二是列出動點滿足的條件，三是化簡，，四是去雜，x≠0；（2）涉及兩個動點問題，往往是通過相關點法求對應軌跡方程，設P（x, y），則，代入M的軌跡方程有，利用橢圓定義解出相關點法也叫轉移法，即將未知轉移到已知，用未知點坐標表示已知點坐標，是一種化歸思想，（3）直線與橢圓位置關系，一般先分析其幾何性，再用代數進行刻畫.本題中的三角形可分解為兩個同底三角形，底長都為，所以三角形面積最大值決定于高，即橫坐標差的絕對值，這可結合韋達定理進行列式分析

試題解析：【解析】
（1）設點M的坐標為M(x, y)(x≠0)，則

又由AC⊥BD有，即，

∴x2+y2=1（x≠0）. （4分）

（2）設P（x, y），則，代入M的軌跡方程有

即，∴P的軌跡為橢圓（除去長軸的兩個端點）.

要P到A、B的距離之和為定值，則以A、B為焦點，故.

∴ 從而所求P的軌跡方程為. 9分

（3）易知l的斜率存在，設方程為聯立9x2+y2=1，有

設P(x1,y1),Q(x2,y2)，則

令，則且

，

所以當，即也即時，面積取最大值，最大值為． 12分

考點：直接法求軌跡方程，相關點法求軌跡方程，直線與橢圓位置關系