Question

已知函數y=x+

a

x

有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在（0，

a

]上是減函數，在[

a

，+∞）上是增函數．
（Ⅰ）如果函數y=x+

2b

x

（x＞0）的值域為[6，+∞），求b的值；
（Ⅱ）研究函數y=x²+

c

x2

（常數c＞0）在定義域內的單調性，并說明理由；
（Ⅲ）對函數y=x+

a

x

和y=x²+

a

x2

（常數a＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例．研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數F（x）=（x²+

1

x

）ⁿ+（

1

x2

+x）ⁿ（n是正整數）在區間[

1

2

，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）．

Answer 1

分析：（1）函數y=x+

2b

x

（x＞0）的最小值是2

2b

=6，由此可求出b的值．
（2）設0＜x₁＜x₂，y₂-y₁=

x

2 2

+

c

x 2 2

-

x

2 1

-

c

x 2 1

=(

x

2 2

-

x

2 1

)(1-

c

x 2 1 • x 2 2

)．由此入手經過講座可知該函數在（-∞，-

4	c

]上是減函數，在[-

4	c

，0）上是增函數．
（3）可以把函數推廣為y=xn+

a

xn

（常數a＞0），其中n是正整數．當n是奇數時，函數y=xn+

a

xn

在（0，

2n	a

]上是減函數，在[

2n	a

，+∞）上是增函數，在（-∞，-

2n	a

]上是增函數，在[-

2n	a

，0）上是減函數；當n是偶數時，函數y=xn+

a

xn

在（0，

2n	a

]上是減函數，在[

2n	a

，+∞）上是增函數，在（-∞，-

2n	a

]上是減函數，在[-

2n	a

，0）上是增函數．并且由函數的單調性可求出當x=1時F（x）取得最小值2ⁿ⁺¹．

解答：解：（1）函數y=x+

2b

x

（x＞0）的最小值是2

2b

，則2

2b

=6，
∴b=log₂9．
（2）設0＜x₁＜x₂，y₂-y₁=

x

2 2

+

c

x 2 2

-

x

2 1

-

c

x 2 1

=(

x

2 2

-

x

2 1

)(1-

c

x 2 1 • x 2 2

)．
當

4	c

＜x₁＜x₂時，y₂＞y₁，函數y=x2+

c

x2

在[

4	c

，+∞）上是增函數；
當0＜x₁＜x₂＜

4	c

時y₂＜y₁，函數y=x2+

c

x2

在（0，

4	c

]上是減函數．
又y=x2+

c

x2

是偶函數，于是，
該函數在（-∞，-

4	c

]上是減函數，在[-

4	c

，0）上是增函數；
（3）可以把函數推廣為y=xn+

a

xn

（常數a＞0），其中n是正整數．
當n是奇數時，函數y=xn+

a

xn

在（0，

2n	a

]上是減函數，在[

2n	a

，+∞）上是增函數，
在（-∞，-

2n	a

]上是增函數，在[-

2n	a

，0）上是減函數；
當n是偶數時，函數y=xn+

a

xn

在（0，

2n	a

]上是減函數，在[

2n	a

，+∞）上是增函數，
在（-∞，-

2n	a

]上是減函數，在[-

2n	a

，0）上是增函數；
F（x）=(x2+

1

x

)n+(

1

x2

+x)n
=

C

0 n

(x2n+

1

x2n

)

+C

1 n

(x2n-2+

1

x2n-3

)+…+

C

r n

(x2n-3r+

1

x2n-3r

)+…+

C

n n

(xn+

1

xn

)，
因此F（x）在[

1

2

，1]上是減函數，在[1，2]上是增函數．
所以，當x=

1

2

或x=2時，F（x）取得最大值（

9

2

）ⁿ+（

9

4

）ⁿ；
當x=1時F（x）取得最小值2ⁿ⁺¹；

點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．