Question

在非負數構成的數表

中每行的數互不相同，前6列中每列的三數之和為1，，，，，，，均大于．如果的前三列構成的數表

滿足下面的性質：對于數表中的任意一列（，2，…，9）均存在某個
使得
⑶．
求證：
（ⅰ）最小值，，2，3一定自數表的不同列．
（ⅱ）存在數表中唯一的一列，，2，3使得數表

仍然具有性質．

Answer 1

（ⅰ）假設最小值，，2，3不是取自數表的不同列．則存在一列不含任何．不妨設，，2，3．由于數表中同一行中的任何兩個元素都不等，于是，，2，3．另一方面，由于數表具有性質，在⑶中取，則存在某個使得．矛盾．
（ⅱ）由抽屆原理知
，，
中至少有兩個值取在同一列．不妨設
，．
由前面的結論知數表的第一列一定含有某個，所以只能是．同樣，第二列中也必含某個，，2．不妨設．于是，即是數表中的對角線上數字．

記，令集合
．
顯然且1，2．因為，，，所以．
故．于是存在使得．顯然，，2，3．
下面證明數表

具有性質．
從上面的選法可知，．這說明
，．
又由滿足性質．在⑶中取，推得，于是．下證對任意的，存在某個，2，3使得．假若不然，則，，3且．這與的最大性矛盾．因此，數表滿足性質．
下證唯一性．設有使得數表

具有性質，不失一般性，我們假定

⑷

．
由于，及（ⅰ），有．又由（ⅰ）知：或者，或者．
如果成立，由數表具有性質，則
，
⑸，
．
由數表滿足性質，則對于至少存在一個使得．由及⑷和⑹式知，，．于是只能有．類似地，由滿足性質及可推得．從而．