Question

設曲線y=2cos2x與x軸、y軸、直線x=

π

12

圍成圖形的面積為b，若g（x）=ln（2x+1）-2bx²-kx在[1，+∞）上單調遞減，則實數k的取值范圍是

[-

4

3

，+∞)

．

Answer 1

分析：先用定積分求出b，再由g（x）=ln（2x+1）-2bx²-kx在[1，+∞）上單調遞減，利用其導數在[1，+∞）上恒小于等于0建立不等式，從而可求出實數k的取值范圍．

解答：解：由題意b=

∫

π 12 0

2cos2xd_x=sin2x

|

π 12 0

=sin

π

6

=

1

2

，
∴g（x）=ln（2x+1）-x²-kx，
∴g′（x）=

2

2x+1

-2x-k，
∵g（x）=ln（2x+1）-x²-kx在[1，+∞）上單調遞減，
∴g′（x）=

2

2x+1

-2x-k≤0在[1，+∞）上恒成立
即k≥

2

2x+1

-2x在[1，+∞）上恒成立
∵

2

2x+1

-2x在[1，+∞）上遞減，
∴

2

2x+1

-2x的最大值為-

4

3

，
∴k≥-

4

3

，
由此知實數k的取值范圍是[-

4

3

，+∞）
故答案為：[-

4

3

，+∞)．

點評：本題考查定積分在求面積中的應用，解題的關鍵是利用定積分求出b，再利用導數與單調性的關系將函數遞減轉化為導數值恒負，由此不等式恒成立求出參數的范圍，本題綜合性很強，需要多次轉化變形，運算量較大，解題時一定要注意變形正確，運算嚴謹，避免因變形，運算出錯．屬于中檔題．