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已知向量
a
=（cosωx，sinωx），
b
=（cosωx，
3
cosωx），其中（0＜ω＜2）．函數，f(x)=
a
•
b
-
1
2
其圖象的一條對稱軸為x=
π
6
．
（I）求函數f（x）的表達式及單調遞增區間；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，S為其面積，若f(
A
2
)=1，b=1，S△ABC=
3
，求a的值．
分析：（I）利用效率低數量積公式求出f（x）；利用三角函數的二倍角公式化簡f（x）；利用對稱軸對應的函數值是最值；列出方程求出ω，求出f（x）；令整體角在[2kπ-
π
2
，2kπ+
π
2
]上，求出x的范圍即函數的遞增區間．
（II）先求出角A，利用三角形的面積公式列出方程求出c；利用三角形的余弦定理求出a．
解答：解：（I））f（x）=
a
•
b
-
1
2
=cos2ωx+
3
sinωxcosωx-
1
2

=
1+cos2ωx
2
+
3
2
sin2ωx-
1
2

=sin(2ωx+
π
6
)
當x=
π
6
時，sin(
ωπ
3
+
π
6
)=±1即
ωπ
3
+
π
6
=kπ+
π
2

∵0＜ω＜2∴ω=1
∴f(x)=sin(2x+
π
6
)
-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
π
2
+2kπ
解得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6

所以f（x）d的遞增區間為[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
](k∈Z)
（II）f(
A
2
)=sin(A+
π
6
)=1
在△ABC中，0＜A＜π，
π
6
＜A+
π
6
＜
7π
6

∴A+
π
6
=
π
2

∴A=
π
3

由S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
，b=1得c=4
由余弦定理得a2=42+12-2×4×1cos60°=13
故a=
13
點評：本題考查向量的數量積公式、考查三角函數的二倍角公式、求三角函數的單調區間采用整體角處理的方法、考查三角形的面積公式、三角形的正弦，余弦定理．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosα，1），
b
=（-2，sinα），α∈(π，
3π
2
)，且
a
⊥
b

（1）求sinα的值；
（2）求tan(α+
π
4
)的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cos（-θ），sin（-θ）），
b
=(cos(
π
2
-θ)，sin(
π
2
-θ))．
（1）求證：
a
⊥
b
．
（2）若存在不等于0的實數k和t，使
x
=
a
+（t2+3）
b
，
y
=（-k
a
+t
b
），滿足
x
⊥
y
，試求此時
k+t2
t
的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量
b
=（
3
，1），b=(
3
，1)，
a
∥
b
，則θ=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosα，sinα），
b
=（sinβ，-cosβ），則|
a
+
b
|最大值為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（cosθ，sinθ），向量
b
=（2
2
，-1），則|3
a
-
b
|的最大值是
 
．

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