Question

二次函數y=ax²+ax+2（a＞0）在R上的最小值為f（a）
（1）寫出函數f（a）的解析式；
（2）用定義證明函數f（a）的奇偶性；
（3）判斷f（a）在[1，5]上的單調性，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）配方后利用二次函數的性質可求得f（a）；
（2）根據f（a）的定義域不關于原點對稱可作出奇偶性的判斷；
（3）利用導數的符號可判斷單調性；

解答：解：（1）y=ax²+ax+2=a(x+

1

2

)2+2-

1

4

a，
又a＞0，∴x=-

1

2

時，y=ax²+ax+2取得最小值，f（a）=2-

1

4

a，
故f（a）=2-

1

4

a（a＞0）；
（2）由（1）知，f（a）=2-

1

4

a（a＞0），
∵f（a）的定義域為（0，+∞），不關于原點對稱，
∴f（a）為非奇非偶函數；
（3）f（a）在[1，5]上單調遞減，證明如下：
設任意正數a₁，a₂，且a₁＜a₂，
f（a₁）-f（a₂）=（2-

1

4

a1）-（2-

1

4

a2）=

1

4

(a2-a1)，
∵0＜a₁＜a₂，∴

1

4

(a2-a1)＞0，
∴f（a₁）-f（a₂）＞0，即f（a₁）＞f（a₂），
∴f（a）在[1，5]上單調遞減．

點評：本題考查二次函數的最值及函數的奇偶性、單調性的判斷，屬基礎題，定義是解決該類題目的基本方法．