Question

已知雙曲線C₁和橢圓C₂：

x2

49

+

y2

24

=1有公共的焦點，它們的離心率分別是e₁和e₂，且

1

e1

+

1

e2

=2，求雙曲線C₁的方程．

Answer 1

分析：先根據橢圓的方程求得焦點坐標和離心率，進而可知雙曲線的半焦距，設出雙曲線的標準方程，根據離心率

1

e1

+

1

e2

=2求得a，再利用c求得b．答案可得．

解答：解：橢圓方程

x2

49

+

y2

24

=1得
∴c₁=

49-24

=5
∴焦點坐標為（5，0）（-5，0），離心率e₁=

5

7

∴設雙曲線方程為

x2

a 2

-

y2

b 2

=1
則半焦距c₂=5
由于

1

e1

+

1

e2

=2
∴

a

5

+

7

5

=2，a=3
b=

c2- a2

=4
∴雙曲線方程為

x2

9

-

y2

16

=1

點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程．．在求曲線方程的問題中，巧設方程，減少待定系數，是非常重要的方法技巧．特別是具有公共焦點的兩種曲線，它們的公共點同時具有這兩種曲線的性質，解題時要充分注意．