Question

已知p：?x∈R，sinx+cosx＞m，q：?x∈R，x²+m+1＜0．若p∨q為真，p∧q為假，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：先求出命題P與命題q為真命題的等價條件，由復合命題真值表得：若p∨q為真，p∧q為假，命題P，q一真一假，確定實數m的取值范圍．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≥-

2

，
∴要使sinx+cosx＞m恒成立，則m＜-

2

，
即：命題P為真命題時，m＜-

2

．
若x²+m+1＜0有解，則m＜-x²-1有解，
∵-x²-1≤-1，∴m＜-1
即命題q為真命題時，m＜-1，
由復合命題真值表得：若p∨q為真，p∧q為假，命題P，q一真一假，
若命題P為真，命題q為假時，
則

m＜- 2 m≥-1

⇒m∈∅．
若命題P為假，命題q為真，則

m≥- 2 m＜-1

⇒-

2

≤m＜-1，≤m＜2．
綜上：-

2

≤m＜-1．

點評：本題主要考查復合命題真假判定，利用函數的性質求出命題成立的等價條件是解決的關鍵．