Question

對于函數，其中a為實常數，已知函數y＝f(x)的圖象在點(－1，f(－1))處的切線與y軸垂直。

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）若關于的方程有三個不等實根，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若函數無零點，求實數的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）。                                      （1分）

據題意，當時取極值，所以。                            （2分）

因為，由1－2a＝0，得。    （4分）

（Ⅱ）因為，則，

所以。

由，得，即x＜－1或1＜x＜2。

所以f(x)在區間，(1，2)上單調遞增，在區間(－1，1)，(2，＋∞)上單調遞減。（6分）

所以的極大值為，極小值為。             （7分）

由此可得函數y＝f(x)的大致圖象如下：                                          （8分）

令，若關于的方程有三個不等實根，

則關于的方程在上有三個不等實根，

即函數的圖象與直線在上有三個不同的交點。

又，由圖象可知，，

故的取值范圍是。                                                （9分）

（Ⅲ）若函數無零點，則當時，。

設函數的定義域為D，則當x∈D時，恒有或。（11分）

因為函數的值域是，所以，即。

故p的取值范圍是。                                                  （13分）