Question

（00全國卷理）（本小題滿分14分）

如圖，已知梯形ABCD中，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點當時，求雙曲線離心率的取值范圍

Answer 1

解析：如圖，以AB為垂直平分線為軸，直線AB為軸，建立直角坐標系，則CD⊥軸因為雙曲線經過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于軸對稱                                                       ――2分

依題意，記A，C，E，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高

由定比分點坐標公式得

               ，

              

設雙曲線的方程為，則離心率

由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和代入雙曲線方程得

                ，             ①

                    ②            ――7分

由①式得         ，            ③

將③式代入②式，整理得   

                 ，

故                                    ――10分

由題設得，

解得             

所以雙曲線的離心率的取值范圍為           ――14分