Question

數列的前項組成集合，從集合中任取個數，其所有可能的個數的乘積的和為（若只取一個數，規定乘積為此數本身），記．例如：當時，，，；當時，，，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）猜想，并用數學歸納法證明．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）63； （Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）通過列舉進行計算；（Ⅱ）先從特殊入手，

當時，，，；

當時，，，，所以；

從特殊到一般探求與之間的遞推關系，從而便于用數學歸納法證明.

試題解析：（Ⅰ）當時，，，，所以；

（Ⅱ）由，，

猜想，下面證明：

（1）易知時成立；

（2）假設時，

則時，

（其中，為時可能的個數的乘積的和為），

即時也成立，

綜合（1）（2）知對，成立．

所以．

考點：歸納推理、數學歸納法.