Question

（08年湖南卷理）（本小題滿分12分）

   數(shù)列

   (Ⅰ)求并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

   (Ⅱ)設(shè)證明：當(dāng)

Answer 1

解:  (Ⅰ)因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090320/20090320093811001.gif' width=87>所以

           

一般地，當(dāng)時(shí)，

＝，即

所以數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此

當(dāng)時(shí)，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，      ①

     ②

   ①-②得，

                

   所以

   要證明當(dāng)時(shí)，成立，只需證明當(dāng)時(shí)，成立.

   證法一

   (1)當(dāng)n = 6時(shí)，成立.

   (2)假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即

   則當(dāng)n=k+1時(shí)，

   由(1)、(2)所述，當(dāng)n≥6時(shí)，.即當(dāng)n≥6時(shí)，

   證法二

   令，則

   所以當(dāng)時(shí)，.因此當(dāng)時(shí)，

于是當(dāng)時(shí)，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，