Question

（2011•浦東新區三模）已知橢圓C的長軸長是焦距的兩倍，其左、右焦點依次為F₁、F₂，拋物線M：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，橢圓C與拋物線M的一個交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l過焦點F₂，與拋物線M交于A、B兩點，若弦長|AB|等于△PF₁F₂的周長，求直線l的方程；
（3）由拋物線弧y²=4mx(0≤x≤

2m

3

)和橢圓弧

x2

4m2

+

y2

3m2

=1(

2m

3

≤x≤2m)
（m＞0）合成的曲線叫“拋橢圓”，是否存在以原點O為直角頂點，另兩個頂點A₁、A₂落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA₁A₂，若存在，求出兩直角邊所在直線的斜率；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為橢圓C的長軸長是焦距的兩倍，所以可得到a，b之間的關系，當m=1時，可知拋物線方程，據此能夠求出拋物線的準線方程，因為拋物線的準線與x軸交于橢圓的左焦點F₁，所以可求出橢圓中c的值，再根據a，b，c之間的關系，就可求出a，b的值，得到橢圓方程．
（2）設出直線l的點斜式方程，與（1）中所求橢圓方程聯立，用韋達定理求出x1+x2，x1x2，再利用弦長公式求出|AB|，讓其等于焦點三角形△PF₁F₂的周長，即可解出斜率k，得到直線l的方程．
（3）先假設存在以原點O為直角頂點，另兩個頂點A₁、A₂落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA₁A₂，由A₁、A₂所在曲線上的位置，分3種情況，①當A₁、A₂同時在拋物線弧y2=4mx(0≤x≤

2m

3

)上時，②當A₁、A₂同時在橢圓弧

x2

4m2

+

y2

3m2

=1(

2m

3

≤x≤2m)上時，③當A₁在拋物線弧上，A₂在橢圓弧上時，分別計算k值，看所求k值是否在，若k值存在，則假設正確，否則，假設不正確．

解答：解：（1）設橢圓的實半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c，
當m=1時，由題意得，a=2c=2，b²=a²-c²=3，a²=4，
所以橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）依題意知直線l的斜率存在，設l：y=k（x-1），由

y2=4x y=k(x-1)

得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
由直線l與拋物線M有兩個交點，可知k≠0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達定理得x1+x2=

2k2+4

k2

，則|AB|=x1+x2+2=4•

1+k2

k2

又△PF₁F₂的周長為2a+2c=6，所以4•

1+k2

k2

=6，
解得k=±

2

，從而可得直線l的方程為2x±

2

y-2=0
（3）由題意得，“拋橢圓”由拋物線弧y2=4mx(0≤x≤

2m

3

)和橢圓弧

x2

4m2

+

y2

3m2

=1(

2m

3

≤x≤2m)合成，且P1(

2m

3

，

2 6 m

3

)、P2(

2m

3

，-

2 6 m

3

)．
假設存在△OA₁A₂為等腰直角三角形，由A₁、A₂所在曲線的位置做如下3種情況討論：
①當A₁、A₂同時在拋物線弧y2=4mx(0≤x≤

2m

3

)上時，由OP₁、OP₂的斜率分別為

6

，-

6

，∠A₁OA₂比為鈍角，顯然與題設矛盾．此時不存在                
②當A₁、A₂同時在橢圓弧

x2

4m2

+

y2

3m2

=1(

2m

3

≤x≤2m)上時，由橢圓與等腰直角三角形的對稱性知，
兩直角邊關于x軸對稱．
即直線OA₁的斜率為1，直線OA₂的斜率為-1，

y=x x2 4m2 + y2 3m2 =1( 2m 3 ≤x≤2m)

得x=

2 21

7

∈[

2m

3

，2m]符合題意；此時存在
③不妨設當A₁在拋物線弧上，A₂在橢圓弧上時，
于是設直線OA₁的方程為y=kx（其中|k|≥

6

），將其代入y²=4mx(0≤x≤

2m

3

)得x1=

4m

k2

，y1=

4m

k

；
由OA₁⊥OA₂，直線OA₂的方程為y=-

1

k

x，
同理代入橢圓弧方程

x2

4m2

+

y2

3m2

=1(

2m

3

≤x≤2m)得

x

2 2

=

12k2m2

3k2+4

，

y

2 2

=

12m2

3k2+4

，
由|OA₁|=|OA₂|得3k⁴-12k²-16=0，解得k=

2+ 2 21 3

與|k|≥

6

矛盾，此時不存在．
因此，存在以原點O為直角頂點，另兩個頂點A₁、A₂落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形OA₁A₂，兩直角邊所在直線的斜率分別為1和-1．

點評：本題主要考查了橢圓方程的求法，以及直線與橢圓位置關系的判斷．