Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（1）要使f（x）在區間（0，1）上單調遞增，試求a的取值范圍；
（2）若x∈[0，1]時，f（x）圖象上任意一點處的切線的傾斜角為θ，試求當θ∈[0，

π

4

]時，a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導函數f′（x），要使f（x）在區間（0，1）上單調遞增，只需x∈（0，1）時，f′（x）＞0恒成立，然后轉化成a＞

3

2

x恒成立，即可求出a的范圍；
（2）根據導數的幾何意義可知tanθ=f′（x），然后根據傾斜角為θ的范圍求出f′（x）的范圍在x∈[0，1]恒成立，將a分離出來，使之恒成立即可求出a的范圍．

解答：解：（1）f′（x）=-3x²+2ax，
由題設，當x∈（0，1）時，f′（a）＞0恒成立，
即-3x²+2ax＞0恒成立，
∴a＞

3

2

x恒成立，
∴a≥

3

2

（6分）
（2）當x∈[0，1]時，tanθ=f′（x）=-3x²+2ax
∵θ∈[0，

π

4

]．∴0≤f′(x)≤1．
∴0≤-3x²+2ax≤1
在x∈[0，1]恒成立，由（1）知，當-3x²+2ax≥0時，a≥

3

2

，
由-3x2+2ax≥1?a≤

1

2

(3x+

1

x

)恒成立，
又

1

2

(3x+

1

x

)min=

3

，∴a≤

3

∴

3

2

≤a≤

3

（12分）

點評：本小題主要考查函數的概念、性質、圖象及導數等基礎知識，考查靈活運用轉化與劃歸的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題．