Question

如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面，，分別是的中點．

（1）證明：平面；

（2）取，若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值。

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）用線面垂直證，用等腰三角形中線即為高線證即，根據線面垂直得判定定理即可得證。（2）由（1）知平面，則為與平面所成的角。因為為定值，所以最短即最短時角的正弦值最大。故此時。故此可推導出的值，過作于，則平面，過作于，連接，則為二面角的平面角。也可采用空間向量法。

試題解析：【解析】
方法一：（1）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形，因為為的中點，
所以 1分
又，因此 2分
因為平面，平面，
所以 3分
而平面，平面，
所以平面 . 5分

（2）為上任意一點，連接由（1）知平面，則為與平面所成的角 6分
在中，，

所以當最短時，即當時，最大 . 7分
此時， 因此
又，所以，
所以 8分

因為平面，平面，
所以平面平面
過作于，則平面，
過作于，連接，則為二面角的平面角， 10分
在中，

又是的中點，在中，

又 11分
在中，
即所求二面角的余弦值為。 13分

第二問：方法二

（2）由（1）可知兩兩垂直，

以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。

設,則

（其中） 6分

面的法向量為

與平面所成最大角的正切值為 7分

的最大值為，

即在的最小值為，

函數對稱軸，

所以，計算可得 9分

所以

設平面的一個法向量為，則

因此，取，則 11分

為平面的一個法向量. 12分

所以

所以，所求二面角的余弦值為 13分

考點：1線面垂直；2線面角；3二面角。