Question

（2009•嘉定區二模）已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）滿足a：b=

3

：

2

，且橢圓C₁過點(

3

2

，

6

2

)．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓C₁的長軸，動直線l₂垂直于l₁且與l₁交于點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（3）設曲線C₂與x軸交于點Q，C₂上有與Q不重合的不同兩點R（x₁，y₁）、S（x₂，y₂），且滿足

QR

•

RS

=0，求點S的橫坐標x₂的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設a=

3

k，b=

2

k（k＞0），所以橢圓C₁的方程為

x2

3k2

+

y2

2k2

=1，由橢圓C₁過點(

3

2

，

6

2

)，解得k=1，由此能求出橢圓C₁的方程．
（2）F₁（-1，0），F₂（1，0），所以直線l₁的方程為x=-1，由|MP|=|MF₂|，知點M的軌跡C₂是以F₂為焦點，直線l₁為準線的拋物線，由此能求出軌跡C₂的方程．
（3）Q（0，0），設R(

y 2 1

4

，y1)，S(

y 2 2

4

，y2)，所以

QR

=(

y 2 1

4

，y1)，

RS

=(

y 2 2 - y 2 1

4

，y2-y1)，因為

QR

•

RS

=0，所以

y 2 1 ( y 2 2 - y 2 1 )

16

+y1(y2-y1)=0，化簡得y2=-(y1+

16

y1

)，由此能求出點S的橫坐標的取值范圍是[16，+∞）．

解答：解：（1）由已知，可設a=

3

k，b=

2

k（k＞0），
所以橢圓C₁的方程為

x2

3k2

+

y2

2k2

=1，…（2分）
因為橢圓C₁過點(

3

2

，

6

2

)，所以有

3

12k2

+

6

8k2

=1，解得k=1，…（3分）
所以橢圓C₁的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．…（4分）
（2）F₁（-1，0），F₂（1，0），所以直線l₁的方程為x=-1，…（5分）
由題意，|MP|=|MF₂|，所以點M的軌跡C₂是以F₂為焦點，直線l₁為準線的拋物線，
所以軌跡C₂的方程是y²=4x． …（10分）
（3）Q（0，0），設R(

y 2 1

4

，y1)，S(

y 2 2

4

，y2)，
所以

QR

=(

y 2 1

4

，y1)，

RS

=(

y 2 2 - y 2 1

4

，y2-y1)，
因為

QR

•

RS

=0，所以

y 2 1 ( y 2 2 - y 2 1 )

16

+y1(y2-y1)=0，…（12分）
因為y₁≠y₂，y₁≠0，化簡得y2=-(y1+

16

y1

)，…（15分）
所以

y

2 2

=

y

2 1

+

256

y 2 1

+32≥64，當且僅當

y

2 1

=

256

y 2 1

，y₁=±4時等號成立．…（16分）
所以x2=

y 2 2

4

≥16，點S的橫坐標的取值范圍是[16，+∞）．…（18分）

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．