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設an=n+
2
(n∈N*)，求證：數列{an}中任意不同的三項都不可能成為等比數列．
分析：假設數列{an}中存在三項ap，aq，ar（p，q，r互不相等）成等比數列，則根據等比中項的性質可知aq2=apar．把ap，aq，ar代入求得（q2-pr）+（2q-p-r）
2
=0進而推斷出
q2-pr=0
2q-p-r=0
，求得p=r，與p≠r矛盾．進而可知假設不成立．
解答：證明：假設數列{an}中存在三項ap，aq，ar（p，q，r互不相等）成等比數列，則aq2=apar．
即（q+
2
）2=（p+
2
）（r+
2
）．
∴（q2-pr）+（2q-p-r）
2
=0
∵p，q，r∈N*，
∴
q2-pr=0
2q-p-r=0
，
∴（
p+r
2
）2=pr，（p-r）2=0，
∴p=r．
與p≠r矛盾．
所以數列{an}中任意不同的三項都不可能成等比數列．
點評：本小題考查數列的基本知識，考查等差數列的概念、通項公式與前n項和公式，考查等比數列的概念與性質，考查化歸的數學思想方法以及推理和運算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=
1
2
．
（1）當n∈N*時，求f（n）的表達式；
（2）設an=n•f（n），n∈N*，求證a1+a2+a3+…+an＜2；
（3）設bn=（9-n）
f(n+1)
f(n)
，n∈N*，Sn為bn的前n項和，當Sn最大時，求n的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）•f（y）（x、y∈R）且f(1)=
1
2
，
（1）當n∈N+時，求f（n）的表達式；
（2）設an=n•f(n)，n∈N+，若Sn=a1+a2+a3+…+an，求證Sn＜2
（3）設bn=
n•f(n+1)
f(n)
(n∈N+)，Tn為{bn}的前n項和，求
1
T1
+
1
T2
+
1
T3
+…+
1
Tn
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）是一次函數，且f（8）=15，f（2），f（5），f（14）成等比數列，設an=f（n），（ n∈N•）
（1）求數列{an}的前n項和Tn；
（2）設bn=2n，求數列{anbn}的前n項和Sn．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設an=n+
2
(n∈N*)，求證：數列{an}中任意不同的三項都不可能成為等比數列．

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