Question

如圖，雙曲線C₁：

x2

4

-

y2

b2

=1與橢圓C₂：

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）的左、右頂點分別為A₁、A₂第一象限內的點P在雙曲線C₁上，線段OP與橢圓C₂交于點A，O為坐標原點．
（I）求證：

kAA1+kAA2

kPA1+kPA2

為定值（其中kAA1表示直線AA₁的斜率，kAA2等意義類似）；
（II）證明：△OAA₂與△OA₂P不相似．
（III）設滿足{（x，y）|

x2

4

-

y2

m2

=1，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|

x2

4

-

y2

3

＞1，x∈R，y∈R} 的正數m的最大值是b，求b的值．

Answer 1

分析：（I）先求出A₁A₂的坐標，再設出A、P的坐標，利用兩點連線的斜率公式結合兩圓錐曲線的方程，將

kAA1+kAA2

kPA1+kPA2

進行化簡，可證出

kAA1+kAA2

kPA1+kPA2

為定值-1；
（II）設

OA

=t

OP

，0＜t＜1，可得P（x，y），A（tx，ty），將此坐標分別代入橢圓和雙曲線方程，聯解可將OA•OP-OA₂²這個式子化簡為關于t的函數f（t），利用函數f（t）為單調減函數的性質，可證出

OA

OA 2

＞

OA 2

OP

故：△OAA₂與△OA₂P不相似．
（III）將雙曲線方程與子集中的方程聯解，化簡得x 2＞

4

3

y 2，因此對任意y不等于零，均有

1

3

-

1

m2

＜

1

y2

，故

1

3

-

1

m2

≤ 0，可得m²≤3成立，因此因此b的值為

3

．

解答：（I）解：由已知得A₁（-2，0），A₂（2，0）．
設A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），由題意知A、P均在第一象限，
且滿足

x 2 1

4

+

y 2 1

b 2

=1，

x 2 2

4

-

y 2 2

b 2

=1．
則

K AA1+K AA2

K PA1+K PA2

=

y1 x1+2 + y1 x 1-2

y2 x2+2 + y2 x2-2

=

4 b2 y 2 2

- 4 b2 y 2 1

•

x 1y 1

x 1y 1

= -

x 1y 2

x 2y  1

…（3分）
而Q、O、A、P在同一直線上，所以x₁y₂=x₂y₁
故

kAA1+kAA2

kPA1+kPA2

=-1(定值)…（4分）
（II）證明：設

OA

=t

OP

，0＜t＜1，P（x，y），則A（tx，ty）且

x 2   4 - y 2   b 2 =1 t2x 2   4 + t2y 2   b 2 =1

，
解之得：

x 2=2(1+ 1 t2 ) y 2= b 2 2 ( 1 t2 -1)

，且OP 2=x 2+y 2=(2-

b2

2

)+(2+

b2

2

) 

1

t 2

…（6分）
OA•OP-OA₂²=tOP²-OA₂²=(2-

b2

2

)t+(2+

b2

2

)

1

t

-4=f(t)，其中0＜t＜1
所以f′（t）=(2-

b2

2

)-(2+

b2

2

)

1

t 2

＜0恒成立，，函數f（t）在區間（0，1）上是減函數，
因此當0＜t＜1時，f（t）＞f（1）=(2-

b2

2

)+(2+

b2

2

-4=0，即

OA

OA 2

＞

OA 2

OP

故：△OAA₂與△OA₂P不相似．…（9分）
（III）解：由

x2

4

-

y2

m2

=1得x2=4(1+

y 2

m 2

)，由

x2

4

-

y2

3

＞1得x 2＞

4

3

y 2．
∴{（x，y）|

x2

4

-

y2

m2

=1，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|

x2

4

-

y2

3

＞1，x∈R，y∈R}
因此?y≠0，

1

3

-

1

m2

＜

1

y2

?

1

3

-

1

m2

≤ 0?m²≤3所以b=

3

因此b的值為

3

…（13分）

點評：本題考查了圓方程、直線方程、圓錐曲線的基本量和圓與圓錐曲線的關系等知識點，屬于難題．解決本題一方面要求對圓方程、直線方程、圓錐曲線的方程有熟悉的理解，另一方面要求對含有字母的代數式化簡、計算要精確到位，具有較強的綜合性．