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已知數學公式，又數列{an}（an＞0）中，a1=2，且其前n項和Sn（n∈N）對所有大于1的自然數n都有Sn=f（Sn-1），求通項公式an，并寫出推導過程．

解：∵
=x+2+2，
∵Sn=f（Sn-1）Sn=Sn-1+2+2an-2
=2
8Sn-1=（an-2）2
=an2-4an+4
8Sn=8Sn-1+8an=an2+4an+4=（（an+2）2，
8Sn-1=（an-1+2）2．
∴（an-2）2=（an-1+2）2，
因為an＞0，
所以an-2=an-1+2an-an-1=4，
即公差為4的等差數列，
∴an=4n-2．
分析：由f（x）=x+2+2，Sn=f（Sn-1）Sn=Sn-1+2+2an-2=2，知8Sn=8Sn-1+8an=an2+4an+4=（（an+2）2，8Sn-1=（an-1+2）2．由此能推導出an=4n-2．
點評：本題考查數列與函數的綜合應用．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f（x）=（
x
+
2
）2（x≥0），又數列{an}（an＞0）中，a1=2，這個數列的前n項和的公式Sn（n∈N*）對所有大于1的自然數n都有Sn=f（Sn-1）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）若bn=
an+12+an2
2an+1an
（n∈N*），求證
lim
n→∞
（b1+b2+…+bn-n）=1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）定義在區間(-1，1)上，f(
1
2
)=-1，對任意x，y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)成立，又數列{an}滿足a1=
1
2
，an+1=
2a
1+
a
2
n
．
（I）在（-1，1）內求一個實數t，使得f(t)=2f(
1
2
)；
（II）求證：數列{f（an）}是等比數列，并求f（an）的表達式；
（III）設cn=
n
2
bn+2，bn=
1
f(a1)
+
1
f(a2)
+
1
f(a3)
+…+
1
f(an)
，是否存在m∈N*，使得對任意n∈N*，cn＜
6
7
lo
g
2
2
m-
18
7
log2m恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知遞增的等比數列{an}，前三項之積為512，且這三項分別減去1，3，9后又成等差數列，求數列{an}的通項公式．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于無窮數列{xn}和函數f（x），若xn+1=f（xn）（n∈N+），則稱f（x）是數列{xn}的母函數．
（Ⅰ）定義在R上的函數g（x）滿足：對任意α，β∈R，都有g（αβ）=αg（β）+βg（α），且g(
1
2
)=1；又數列{an}滿足：an=g(
1
2n
)．
求證：（1）f（x）=x+2是數列{2nan}的母函數；
（2）求數列{an}的前項n和Sn．
（Ⅱ）已知f(x)=
2012x+2
x+2013
是數列{bn}的母函數，且b1=2．若數列{
bn-1
bn+2
}的前n項和為Tn，求證：25(1-0.99n)＜Tn＜250(1-0.999n)(n≥2)．

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