Question

（2003•崇文區一模）已知圓B方程（x-c）²+y²=4a²（a＞c＞0，a，c是常數），且A（-c，0），點M在圓B上運動，線段AM的垂直平分線交MB于點P．
（Ⅰ）判斷點P的軌跡；
（Ⅱ）若滿足題設的點P，使∠APB取其最大值

π

2

時，求點P的軌跡的離心率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意借助于等價轉化得到∴|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|MB|=2a，由此可以判斷P的軌跡；
（Ⅱ）在三角形APB中，利用余弦定理寫出交APB的余弦值，配方后結合圓錐曲線的定義求出最小值，由最小值等于0解得點P鬼記得離心率．

解答：解：（I）連結AP，∴|PA|=|PM|，
∴|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|MB|=2a．
∵a＞c＞0，∴2a＞2c，且a、c是常數．
∴點P的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為2a的橢圓；
（II）解：設|PA|=d₁，|PB|=d₂，由（I），得d₁+d₂=2a，|AB|=2c．
在△PAB中，由余弦定理，得
cos∠APB=

d 2 1 + d 2 2 -4c2

2d1d2

=

(d1+d2)2-2d1d2-4c2

2d1d2

=

4a2-4c2

2d1d2

-1
=

2(a2-c2)

d1d2

-1，
∵d1d2≤

(d1+d2)2

4

=a2（當且僅當d₁=d₂=a時，取等號）
∴cos∠APB≥

2(a2-c2)

a2

-1=1-

2c2

a2

．
∴cos∠APB的最小值為1-

2c2

a2

．
又0＜∠APB≤

π

2

，cos∠APB的最小值為0，
∴1-

2c2

a2

=0，

c

a

=

2

2

．
即當∠APB取其最大值

π

2

時，點P的軌跡的離心率e=

2

2

．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了橢圓的定義，訓練了利用基本不等式求最值，與圓錐曲線有關的解三角形問題，經常結合圓錐曲線的定義及正余弦定理解題，此題是中高檔題．