Question

設代數方程a₀-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n個不同的根±x₁，±x₂，…，±x_n，則a0-a1x2+a2x4-…+(-1)nanx2n=a0(1-

x2

x 2 1

)(1-

x2

x 2 2

)•…•(1-

x2

x 2 n

)，比較兩邊x²的系數得a₁=

a0(

1

x 2 1

+

1

x 2 2

+…+

1

x 2 n

)

（用a₀•x₁•x₂•…•x_n表示）；若已知展開式

sinx

x

=1-

x2

3!

+

x4

5!

-

x6

7!

+…對x∈R，x≠0成立，則由于

sinx

x

=0有無窮多個根：±π，±2π，…，+±nπ，…，于是1-

x2

3!

+

x4

5!

-

x6

7!

+…=(1-

x2

π2

)(1-

x2

22•π2

)•…•(1-

x2

n2π2

)•…，利用上述結論可得1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+…=

π2

6

．

Answer 1

分析：代數方程a₀-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n個不同的根±x₁，±x₂，…，±x_n，∴a₀-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=a₀(1-

1

x 2 1

)(1-

1

x 2 2

)…(1-

1

x 2 n

)，與條件比較兩邊x²的系數可以推得結論；由于

sinx

x

=0有對x∈R且x≠0恒成立，方程

sinx

x

有無究多個根：±π，±2π，…±nπ，…，則比較兩邊x²的系數可以推得結論．

解答：解：∵代數方程a₀-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n個不同的根±x₁，±x₂，…，±x_n，
∴a₀-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=a₀(1-

1

x 2 1

)(1-

1

x 2 2

)…(1-

1

x 2 n

)
又a0-a1x2+a2x4-…+(-1)nanx2n=a0(1-

x2

x 2 1

)(1-

x2

x 2 2

)•…•(1-

x2

x 2 n

)
比較兩邊x²的系數可以推得：a₁=a0(

1

x 2 1

+

1

x 2 2

+…+

1

x 2 n

)
由1-

x2

3!

+

x4

5!

-

x6

7!

+…=(1-

x2

π2

)(1-

x2

22•π2

)•…•(1-

x2

n2π2

)•…
比較兩邊x²的系數可以推得：1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+…=

π2

6

故答案為a₁=a0(

1

x 2 1

+

1

x 2 2

+…+

1

x 2 n

)；1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+…=

π2

6

點評：本題考查的知識點是類比推理，其中由已知根據方程根的形式，將一個累加式變成一個累乘式，用到一次類比推理；現時觀察兩邊x2的系數得到結論，又用到一次類比，故難較大．