Question

若實數x，y滿足x²+4y²=4x，則S=x²+y²的取值范圍是

[0，16]

．

Answer 1

分析：把S表示為關于變量x的二次函數，由y²≥0可求得x的范圍，在x的取值范圍內利用二次函數的性質即可求得其最值，從而得其范圍．

解答：解：由x²+4y²=4x，得y²=

1

4

(4x-x2)，
由y²=

1

4

(4x-x2)≥0，解得0≤x≤4，
代入S=x²+y²得，S=x²+

1

4

(4x-x2)=

3

4

x2+x=

3

4

(x+

2

3

)2-

1

3

，x∈[0，4]，
S在[0，4]上單調遞增，
當x=0時S取得最小值為0；當x=4時S取得最大值為16，
故S的取值范圍為[0，16]．
故答案為：[0，16]．

點評：本題考查二次函數在閉區間上的最值問題，考查學生運用知識分析解決問題的能力，屬中檔題．