Question

選修4-5：不等式選講
已知x∈(0，

π

2

)，試求函數f(x)=3cosx+4

1+sin2x

的最大值．（自編題）

Answer 1

分析：由已知中x∈(0，

π

2

)，可知x的各三角函數值均為正，又由函數f(x)=3cosx+4

1+sin2x

，我們可設

m

=(3，4)，

n

=(cosx，

1+sin2x

)，由向量數量積的定義可得f(x)=3cosx+4

1+sin2x

=|

m

•

n

|，進而根據|

m

•

n

|≤|

m

||

n

|得到答案．

解答：解：設

m

=(3，4)，

n

=(cosx，

1+sin2x

)，
則f(x)=3cosx+4

1+sin2x

=|

m

•

n

|≤|

m

||

n

|=

32+42

•

cos2x+1+sin2x

=5

2

，
當且僅當

m

∥

n

時，上式取“=”．

點評：本題考查的知識點是函數的最值及其幾何意義，其中根據已知中函數的解析式，將問題轉化為向量數量積問題，進而根據向量模的性質構造不等式是解答本題的關鍵．