Question

已知函數f（x）=2x³-

1

2

x²+m（m為常數）圖象上A處的切線與x-y+3=0的夾角為45°，則A點的橫坐標為（　　）

• A、0
• B、1
• C、0或

  1

  6

• D、1或

  1

  6

Answer 1

分析：由已知直線的方程求出其斜率，進一步得到其傾斜角，根據函數f（x）圖象上A處的切線與x-y+3=0的夾角為45°，求得過A點的切線的傾斜角，得到斜率，設出切點A（x₀，y₀），由f′（x₀）=0求得x₀的值．

解答：解：∵直線x-y+3=0的斜率為1，∴其傾斜角為45°，
又函數f（x）=2x³-

1

2

x²+m（m為常數）圖象上A處的切線與x-y+3=0的夾角為45°，
∴函數f（x）=2x³-

1

2

x²+m（m為常數）圖象上A處的切線的傾斜角為0°或90°．
∴切線的斜率為0或不存在．
由f（x）=2x³-

1

2

x²+m，得
f′（x）=6x²-x，
設A（x₀，y₀），
∴f′(x0)=6x02-x0．
由6x02-x0=0，得x₀=0或x0=

1

6

．
故選：C．

點評：本題考查了直線的夾角，考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，是中檔題．