Question

設個不全相等的正數依次圍成一個圓圈。

（Ⅰ）若，且是公差為的等差數列，而是公比為的等比數列；數列的前項和滿足：，求通項；

（Ⅱ）若每個數是其左右相鄰兩數平方的等比中項，求證：。

Answer 1

（Ⅰ）  （Ⅱ）證明見解析。

解析:

（Ⅰ）因是公比為d的等比數列，從而 由  ，故

     解得或（舍去）。因此

     又    。解得

     從而當時，

    

     當時，由是公比為d的等比數列得

因此

（II）由題意得

有①得       ④

由①，②，③得，       

故.          ⑤

又，故有

.⑥

下面反證法證明：

若不然，設

若取即，則由⑥得，而由③得

得由②得而

④及⑥可推得（）與題設矛盾

同理若P=2，3，4，5均可得（）與題設矛盾,因此為6的倍數

由均值不等式得

由上面三組數內必有一組不相等（否則，從而與題設矛盾），故等號不成立，從而

又，由④和⑥得

因此由⑤得