Question

（文科做）已知等差數列{a_n}{和正項等比數列{b_n}，a₁=b₁=1，a₃=b₃=2．
（1）求a_n，b_n；
（2）設，求數列{c_n}的前n項和S_n；
（3）設{a_n}的前n項和為T_n，是否存在常數P、c，使a_n=p+log₂（T_n+c）恒成立？若存在，求P、c的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由a₃=a₁+2d，得d=-------（1分）
由b₃=b₁q²且q＞0得q=----（2分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=，b_n=b₁q^n-1=-------（4分）
（2）因為c_n=（n+1）2^n-2--------------------------（5分）
故-----------------①
---------------------------②
所以①-②得：--------------------------（7分）
所以--------------------------（9分）
（3）-------（10分），
a_n=p+log₂（T_n+c）恒成立，
則當n=1，n=3時，有-----（12分），
解得c=，-------（13分）
p+log₂（T_n+c）=log₂（2-）+==------（15分）
所以，當c=，時，a_n=p+log₂（T_n+c）恒成立-------（16分）
分析：（1）由a₃=a₁+2d，得d=，由b₃=b₁q²且q＞0得q=，從而可求a_n，b_n；
（2）因為c_n=（n+1）2^n-2，再利用錯位相減法可求數列{c_n}的前n項和S_n；
（3），令n=1，n=3，求得c=，，再驗證下即可．
點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查數列通項的求解，考查錯位相減法求和，解題的關鍵是確定數列的通項．