Question

已知函數y=f（x）=（a，b，c∈Z）是奇函數，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）證明：f（x）在（0，1）上為減函數．

Answer 1

（1）解：因為f（x）是奇函數，
所以f（-x）=-f（x），即=-，化簡得bx+c=bx-c，解得c=0，
又f（1）=2，所以a+1=2b①，因為f（2）＜3，所以②，
將①代入②并整理得，解得0＜b＜，
因為b∈z，所以b=1，從而a=1，
所以f（x）=；
（2）證明：由（1）得f（x）==x+，
設0＜x₁＜x₂＜1，則f（x₁）-f（x₂）=（）-（）=，
因為0＜x₁＜x₂＜1，
所以x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，1）上為減函數．
分析：（1）由奇函數定義可得f（-x）=-f（x），根據該恒等式可求得c，由f（1）=2及f（2）＜3可得b的范圍，又b∈Z可求b值，進而得a；
（2）定義法，設0＜x₁＜x₂＜1，只需通過作差證明f（x₁）＞f（x₂）；
點評：本題考查函數的奇偶性、單調性的判斷證明，屬基礎題，定義是解決問題的基礎..