Question

已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，且實(shí)數(shù)滿足，問(wèn)：函數(shù)在處的切線能否平行于軸？若能，求出該切線方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）在處的切線不能平行于軸．

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則其導(dǎo)數(shù)恒大于等于0.求導(dǎo)得：

.由得：.要恒成立，只需即可.接下來(lái)利用重要不等式可求出的最小值.

由題意，知恒成立，即．

（2）本題屬探索性問(wèn)題.對(duì)探索性問(wèn)題，常用的方法是假設(shè)成立，然后利用題設(shè)試著去求相關(guān)的量.若能求出來(lái)，則成立；若無(wú)解，則不成立.

在本題中，總的方向如下：首先假設(shè)在的切線平行于軸，則是的極值點(diǎn)，故有.又函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以，再加上，這樣有4個(gè)方程（4個(gè)未知數(shù)).接下來(lái)就試著求.若能求出，則切線能平行于軸（同時(shí)也就求出了該切線方程）；若不能求出，則切線不能平行于軸.

試題解析：（1）

由題意，知恒成立，即．

又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．

故，所以． 

（2）將求導(dǎo)得：.

存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以.

設(shè)在的切線平行于軸，則.

結(jié)合題意，有，

①—②得

所以由④得

所以           ……………………………………⑤

設(shè)，⑤式變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041204264654806363/SYS201404120427243448735086_DA.files/image031.png">

設(shè)，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

因此，，即

也就是，，此式與⑤矛盾．所以在處的切線不能平行于軸.

考點(diǎn)：1、函數(shù)的單調(diào)性；2、函數(shù)的零點(diǎn)；3、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.