Question

已知z為虛數，且|z|=

5

，若z2-2

.

z

為實數．
（1）求復數z；
（2）若z的虛部為正數，且ω=z+4sinθ•i（i為虛數單位，θ∈R），求ω的模的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設z=a+bi（a、b∈R且b≠0，i為虛數單位），根據|z|=

5

，z2-2

.

z

為實數建立方程組，解之即可求出復數z；
（2）若z的虛部為正數，則由（1）知，z=-1+2i，然后根據模的定義建立ω的模函數表達式，然后利用二次函數的性質求出函數的取值范圍即可．

解答：解：（1）設z=a+bi（a、b∈R且b≠0，i為虛數單位）．
由|z|=5得 a²+b²=5（*）…（1分）
又因為z2-2

.

z

為實數，即（a+bi）²-2（a-bi）為實數，即a²-b²-2a+2b（a+1）i為實數，
所以b（a+1）=0，…（2分）
又 b≠0，所以a=-1．將a=-1代入（*）解得   b=±2．…（4分）
于是  z=-1+2i或z=-1-2i．…（5分）
（2）若z的虛部為正數，則由（1）知，z=-1+2i，所以ω=-1+2i+4sinθ•i，
即ω=-1+（2+4sinθ）•i，…（6分）
所以|ω|=

(-1)2+(2+4sinθ)2

，即|ω|=

16(sinθ+ 1 2 )2+1

，
設t=sinθ（-1≤t≤1），則|ω|=

16(t+ 1 2 )2+1

，
它在t∈[-1，-

1

2

]上單調遞減，在t∈[-

1

2

，1]上單調遞增．
所以當t=-

1

2

，即sinθ=-

1

2

，即θ=kπ-(-1)k•

π

6

  (k∈Z)時，|ω|_min=1；…（8分）
又當t=-1，即sinθ=-1，即θ=2kπ-

π

2

  (k∈Z)時，|ω|=

5

，當t=1，即sinθ=1，即θ=2kπ+

π

2

  (k∈Z)時，|ω|=

37

，所以|ω|max=

37

．
因此   所求ω的模的取值范圍為  [ 1， 

37

 ]．…（10分）

點評：本題主要考了復數的模以及利用二次函數的性質求閉區間上的值域，同時考查了換元法的運用，屬于基礎題．