Question

兩個二次函數f（x）=x²+bx+c與g（x）=-x²+2x+d的圖象有唯一的公共點P（1，-2）．
（Ⅰ）求b，c，d的值；
（Ⅱ）設F（x）=（f（x）+m）•g′（x），若F（x）在R上是單調函數，求m的范圍，并指出是單調遞增函數，還是單調遞減函數．

Answer 1

分析：（I）由題意可得（1，-2）為兩拋物線的頂點，結合二次函數的性質可求b，c，d
（II）由（I）可求f（x），g（x），代入可求F（x）=（f（x）+m）•g′（x），對函數F（x）求導，然后結合二次函數的性質可判斷F‘（x）的正負，從而可判斷函數的單調性

解答：解：（I）由題意可得（1，-2）為兩拋物線的頂點
∴

g(1)=1+d=-2 - 1 2 b=1 4c-b2 4 =1

∴d=-3，b=-2，c=2
（II）由（I）可得f（x）=x²-2x+2，g（x）=-x²+2x-3
∴F（x）=（f（x）+m）•g′（x）
=（x²-2x+2+m）（-2x+2）
∵F′（x）=-6x²+12x-（2m+8）
∵F（x）在R上是單調函數，
∴F′（x）=-6x²+12x-（2m+8）≤0恒成立
∴△=144-24（2m+8）≤0
∴m≥-1
函數是單調遞減的函數

點評：本題主要考查了二次函數的對稱性、函數的導數與函數的單調性的關系的應用，解題的關鍵是熟練應用二次函數的性質