Question

設CD是△ABC的邊AB上的高，且滿足

CD2

AC2

+

CD2

BC2

=1，則（　　）

Answer 1

分析：根據三角函數的定義先求出

CD

AC

=sinA，

CD

BC

=sinB，再由sin²A=1-sin²B=cos²B，分sinA=cosB 和 sinA=-cosB，利用誘導公式可得答案．

解答：解：由題意可得，

CD

AC

=sinA，

CD

BC

=sinB，

CD2

AC2

+

CD2

BC2

=1，
∴sin²A+sin²B=1，即sin²A=1-sin²B=cos²B．
故有 sinA=cosB，或sinA=-cosB，
①若sinA=cosB，則有sinA=sin（π-A）=sin（

π

2

-B），∴A=

π

2

-B，或 π-A=

π

2

-B，解得 A+B=

π

2

 或 A-B=

π

2

．
②若sinA=-cosB，則B為鈍角，A為銳角，故有 sinA=cos（π-B）=sin[

π

2

-（π-B）]=sin（B-

π

2

），則有  A=B-

π

2

，即 B-A=

π

2

．
綜合①②可得，A+B=

π

2

、或 A-B=

π

2

、或 B-A=

π

2

，
故選D．

點評：本題主要考查三角函數的定義，這里注意三角函數的取值，尤其是在三角形中角的變化范圍，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．