Question

（本小題滿分14分）如圖5，正△的邊長(zhǎng)為4，是邊上的高，分別是和邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△沿翻折成直二面角．

（1）試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）在線段BC上存在點(diǎn)P使AP⊥DE。此時(shí)，.

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中線面的位置關(guān)系，以及二面角的求解，以及線線垂直的綜合運(yùn)用。

（1）在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點(diǎn)，得EF//AB，

又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，得到發(fā)向量，運(yùn)用法向量的夾角的都二面角的平面角的求解。

（3）設(shè)

得到點(diǎn)P的值。

（1）如圖：在△ABC中，由E、F分別是AC、BC中點(diǎn)，得EF//AB，

又AB平面DEF，EF平面DEF，∴AB∥平面DEF．          …………3分

 法一：（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DB、DC為x軸、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，.…………4分

平面CDF的法向量為設(shè)平面EDF的法向量為，

則

 即，                …………6分

，所以二面角E—DF—C的余弦值為；…8分

（3）設(shè)，

又，

。     …………10分

把，

所以在線段BC上存在點(diǎn)P使AP⊥DE。此時(shí)，.        …………12分