Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）過焦點F的任一條弦AB，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且y₁＞0，y₂＜0
（1）若y₁y₂=-4，求拋物線方程；
（2）是否存在常數λ，使

1

|FA|

+

1

|FB|

=λ，若存在，求出λ的值，并給予證明，若不存在，請說明理由；
（3）在拋物線對稱軸（ox的正方向）上是否存在一定點M，經過點M的任意一條弦AB，使

1

|MA|2

+

1

|MB|2

為定值，若存在，則求出定點M的坐標和定值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先設AB的方程代入y²=2px，利用條件y₁y₂=-4，可求拋物線方程；（2）利用拋物線的定義表示出FA，FB，再進行求解；（3）設AB：x=ty+p代入y²=2px，從而表示出MA²=（1+t²）y₁²，MB²=（1+t²）y₂²，進而得證．

解答：解：（1）設AB：x=ty+

p

2

代入y²=2px，得y²-2py-p²=0，∴y₁y₂=-p²=-4，∴p=2，∴拋物線方程y²=4x；
（2）①當AB⊥x軸時，

1

|FA|

+

1

|FB|

=λ=

2

p

②一般地，FA=

p

2

+x1=

y1(y1-y2)

2p

，FB=

p

2

+x2=

y2(y2-y1)

2p

∴

1

|FA|

+

1

|FB|

= 

2p(y2-y1)

y1y2(y1-y2)

=-

2p

y1y2

=

2

p

；
（3）假設存在定點M（x₀，0）（x₀＞0）
①當AB⊥x軸時，可得

1

|MA|2

+

1

|MB|2

=-

1

p2

，M（p，0）
②一般地，設AB：x=ty+p代入y²=2px，得y²-2pty-2p²=0，∴y₁y₂=-2p²，y₁+y₂=2pt，
∵MA²=（1+t²）y₁²，MB²=（1+t²）y₂²，∴

1

|MA|2

+

1

|MB|2

=-

1

p2

得證．

點評：本題主要考查是否存在性命題，通常可以借助于特殊情形，猜想結論，再進行一般性德證明，要充分利用拋物線過焦點弦的性質．