Question

設函數（常數a,b滿足0<a<1,bR）

（1）求函數f（x）的單調區間和極值；

（2）若對任意的，不等式｜a恒成立，求a的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）f(x)的單調遞增區間為(a, 3a)，減區間為(-∞,a)和 (3a,+∞)

（2）

【解析】解  (1)f′(x)=-x2+4ax-3a2,令f′(x)＞0,

 得f(x)的單調遞增區間為(a, 3a).

 令f′(x)<0,得f(x)的單調遞減區間為(-∞,a)和 (3a,+∞),

∴當x=a時,f(x)極小值=

 當x=3a時,f(x)極大值=b.

(2)由|f′(x)|≤a,得-a≤-x2+4ax-3a2≤a.∵0＜a＜1,∴a+1＞2a.

∴f′(x)=-x2+4ax-3a2在[a+1,a+2]上是減函數.∴f′(x)max=f′(a+1)=2a-1.

f′(x)min=f(a+2)=4a-4.于是,對任意x∈[a+1,a+2],不等式①恒成立，

等價于　　　　　　　　　　　　　解得 

又0＜a＜1,∴