Question

已知函數y=f(x)=

lnx

x

．
（1）求函數y=f（x）的圖象在x=

1

e

處的切線方程；
（2）求y=f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）欲求在x=

1

e

處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=

1

e

處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）先求出函數的定義域，求出導函數，令導函數小于0以及導數大于0，求出x的范圍，寫出區間即為單調區間．

解答：解：（1）∵已知函數y=f(x)=

lnx

x

，
∴f′（x）=

1-lnx

x2

，k=f′（

1

e

）=2e²，且f（

1

e

）=e，
所以切線方程為y-e=2e²（x-

1

e

），即2e²x-y-e=0…（6分）
（2）易知x＞0，由f'（x）＞0得0＜x＜e，所以f（x）遞增區間：（0，e）…（10分）
f'（x）＜0得x＞e，遞減區間：（e，+∞） …（12分）．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．