Question

設函數．
（1）求的單調區間；
（2）當時，若方程在上有兩個實數解，求實數的取值范圍；
（3）證明：當時，．

Answer 1

（1）時，在上是增函數；時，在上單調遞增，在上單調遞減.（2），（3）詳見解析

試題分析：（1）求函數單調區間，首先明確定義域，再求導，由于含有參數，需分類討論根的情況. 時，，所以在上是增函數．當時，由，所以在上單調遞增，在上單調遞減.（2）本題考查函數與方程思想，實際研究直線與函數圖像交點有兩個的情況，由（1）知在上單調遞增，在上單調遞減，且，所以當時，方程有兩解．（3）本題關鍵在于構造函數，首先將兩變量分離，這要用到取對數，即因此只需證，即證為單調減函數，可利用導數，再結合（1）的結論，可證.
試題解析：（1）．
①時，，∴在上是增函數．         1分
②當時，由，由，
∴在上單調遞增，在上單調遞減.           4分
（2）當時，由（1）知，在上單調遞增，在上單調遞減，
又，              6分
∴．
∴當時，方程有兩解．            8分
（3）∵.∴要證：只需證
只需證：．
設，                               10分
則．
由（1）知在單調遞減，           12分
∴，即是減函數，而．
∴，故原不等式成立．                         14分