Question

已知函數f(x)=m-

1

1+ax

(a＞0且a≠1，m∈R)是奇函數．
（1）求m的值．
（2）當a=2時，解不等式0＜f(x2-x-2)＜

1

6

．

Answer 1

分析：（1）由于函數是定義在R上的奇函數，故可得出f(0)=m-

1

1+a0

=0，由此方程解出參數m的值．
（2）此不等式是一個復合型的不等式，直接求解較難可先解出外層函數對應的不等式的解集，再求內層函數對應不等式的解集即可得出所求不等式的解集．

解答：解：（1）由題意，函數f(x)=m-

1

1+ax

(a＞0且a≠1，m∈R)是奇函數．
∴f(0)=m-

1

1+a0

=0，解得m=

1

2

（2）由于a=2，結合（1）可得f(x)=

1

2

-

1

1+2x

=

2x-1

2(1+2x)

令0＜

2x-1

2(1+2x)

＜

1

6

，整理得1＜2^x＜2，解得0＜x＜1
再令0＜x²-x-2＜1，解得x∈(

1- 13

2

，-1)∪(2，

1+ 13

2

)
故不等式0＜f(x2-x-2)＜

1

6

的解集是(

1- 13

2

，-1)∪(2，

1+ 13

2

)

點評：本題考查指數函數的性質及函數奇偶性，解題的關鍵是熟練掌握理解函數的性質，建立方程解出相應參數，利用函數的單調性解不等式是函數單調性的一個重要運用，本題中所給的不等式是一個復合型的不等式，直接求解較困難，故本題采取了分步求解的策略，解題中注意借鑒．