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試求使不等式
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
3n+1
＞5-2t對一切正整數n都成立的最小自然數t的值，并用數學歸納法加以證明．
分析：設f(n)=
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
3n+1
，確定函數的單調性，求出最小值，即可得到最小自然數t的值，在用數學歸納法加以證明．
解答：解：設f(n)=
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
3n+1

∵f(n+1)-f(n)=(
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
3n+4
)-(
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
)=
1
3n+2
+
1
3n+3
+
1
3n+4
-
1
n+1
=
1
3n+2
+
1
3n+4
-
2
3n+3
=
6n+6
(3n+2)(3n+4)
-
2(3n+3)
(3n+3)2
=
6n+6
9n2+18n+8
-
2(3n+3)
9n2+18n+9
＞0
∴f（n）遞增，∴f（n）最小為f(1)=
1
2
+
1
3
+
1
4
=
13
12

∵f（n）＞5-2t對一切正整數n都成立，∴5-2t＜
13
12
，∴自然數t≥2
∴自然數t的最小值為2                 …（7分）
下面用數學歸納法證明
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
3n+1
＞1
（1）當n=1時，左邊=
1
2
+
1
3
+
1
4
=
13
12
＞1，∴n=1時成立
（2）假設當n=k時成立，即
1
k+1
+
1
k+2
+
1
k+3
+…+
1
3k+1
＞1
那么當n=k+1時，左邊=
1
k+2
+
1
k+3
+
1
k+4
+…+
1
3k+4
=
1
k+1
+
1
k+2
+
1
k+3
+…+
1
3k+1
+
1
3k+2
+
1
3k+3
+
1
3k+4
-
1
k+1
＞1+
1
3k+2
+
1
3k+3
+
1
3k+4
-
1
k+1
=1+
2
(3k+2)(3k+4)(3k+3)
＞1
∴n=k+1時也成立
根據（1）（2）可知
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
3n+1
＞1成立 …（14分）
注：第（1）小題也可歸納猜想得出自然數t的最小值為2
點評：本題考查數學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
4x
4x+2

（1）試求f(
1
n
)+f(
n-1
n
)(n∈N*)的值；
（2）若數列{an}滿足an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f（1）（n∈N*），求數列{an}的通項公式；
（3）若數列{bn}滿足bn=2n+1•an，Sn是數列{bn}前n項的和，是否存在正實數k，使不等式knSn＞4bn對于一切的n∈N*恒成立？若存在指出k的取值范圍，并證明；若不存在說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數f(x)=
4x
4x+2

（1）試求f(
1
n
)+f(
n-1
n
)(n∈N*)的值；
（2）若數列{an}滿足an=f（0）+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f（1）（n∈N*），求數列{an}的通項公式；
（3）若數列{bn}滿足bn=2n+1•an，Sn是數列{bn}前n項的和，是否存在正實數k，使不等式knSn＞4bn對于一切的n∈N*恒成立？若存在指出k的取值范圍，并證明；若不存在說明理由．

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