Question

給出四個命題
（1）若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形；
（2）若sinA=cosB，則△ABC為直角三角形；
（3）若sin²A+sin²B+sin²C＜2，則△ABC為鈍角三角形；
（4）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，則△ABC為正三角形  
以上正確命題的個數(shù)是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：通過sin2A=sin2B求出A與B的關(guān)系，判斷（1）正誤；
sinA=cosB，找出反例，即可判斷△ABC是否是直角三角形；
由sin²A+sin²B+sin²C＜2，結(jié)合正弦定理可得a²+c²＜b²，所以△ABC為鈍角三角形；
利用三角形中角的范圍，結(jié)合正余弦定理及舉特例，驗(yàn)證即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）若sin2A=sin2B，則2A=2B或2A+2B=π，則△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以（1）不正確；
（2）若sinA=cosB，例如sin100°=cos10°，則△ABC不是直角三角形，（2）不正確．
（3）根據(jù)正弦定理，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，所以sin²A=

a2sin2B

b2

，同理，sin²C=

c2sin2B

b2

，
所以sin²A+sin²B+sin²C=

a2+b2+c2

b2

sin²B＜2，sinB≤1，
則

a2+b2+c2

b2

＜2，故a²+c²＜b²，所以它是鈍角三角形，故（3）正確；
（4）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，
由三角函數(shù)的有界性可知三個都是1或者兩個-1一個1
都是1顯然成立，如果兩個-1又不可能，所以命題是三角形為正三角形的充要條件，所以（4）正確．
故答案為：B

點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查三角形的判斷，三角方程的求法，反例法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，邏輯推理能力．