Question

（本小題滿分16分）
已知直線：與直線：．
（1）當(dāng)實數(shù)變化時，求證：直線過定點，并求出這個定點的坐標(biāo)；
（2）若直線通過直線的定點，求點所在曲線的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)，過點的直線交曲線于兩點(兩點都在軸上方)，且，求此直線的方程．

Answer 1

（1）定點的坐標(biāo)為．（2）．（3）的方程為．

本試題主要考查了直線的位置關(guān)系的運用，以及求解軌跡方程和直線方程的綜合運用。
（1）因為直線：與直線：．
，那么當(dāng)實數(shù)變化時，直線表示為過兩條直線交點的直線系方程可知其過定點，并求出這個定點的坐標(biāo)；
（2）因為直線通過直線的定點，則可知點所在曲線的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)，過點的直線交曲線于兩點(兩點都在軸上方)，且，運用向量的共線的知識得到結(jié)論。
（1）的方程化為，…………………………2分
由題意，解得所以定點的坐標(biāo)為．………………4分
（2）由過定點，得，化簡得，
所以點所在曲線的方程為．……………………………………8分
（3）因為，所以，且，
所以，所以，所以，所以．…………10分
設(shè)，則，
由，得，又由
由①②③④解之得所以，……………………………………………14分
所以的方程為．……………………………………………………16分