Question

在數列中，，且前n項的算術平均數等于第n項的2n－1倍（）。
（1）寫出此數列的前5項；（2）歸納猜想的通項公式，并加以證明。

Answer 1

（1）數列的前5項是：，，，，
（2）證明見解析

（1）由已知，，分別取，得：
，                 ，
，      
所以數列的前5項是：，，，，
（2）由（1）中的分析可以猜想。下面用數學歸納法證明：
①當n=1時，公式顯然成立。②假設當時成立，即，那么由已知，得，
即    所以
即，又歸納假設，得：
所以，即當時，公式也成立
由①，②，對一切，都有成立。