Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點M（1，-3）、N（5，1），若點C滿足

OC

=t

OM

+(1-t)

ON

(t∈R)，點C的軌跡與拋物線：y²=2px（p＞0）交于D、E兩點．
（1）

OD

⊥OE

，求拋物線的方程；
（2）過動點（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，且|AB|≤2p．
（i）求a的取值范圍；
（ii）若線段AB的垂直平分線交x軸于點Q，求△QAB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由

OC

=t

OM

+(1-t)

ON

(t∈R)，知點C的軌跡是M，N兩點所在的直線，故點C所在的軌跡方程是y=x-4．設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則

OD

=（x₁，y₁），

OE

=(x2，y2)，由

y=x-4 y2=2px

，得（x-4）²=2px，由此能求出拋物線方程．
（2）（i）（1）設出直線的方程與拋物線方程聯立消去y，設直線l與拋物線兩個不同的交點坐標為A，B，進而根據判別是對大于0，及x₁+x₂的和x₁x₂的表達式，求得AB的長度的表達式，根據|AB|的范圍確定a的范圍
（2）設AB的垂直平分線交AB于點E，令坐標為（x₃，y₃），則由中點坐標公式求得x₃的坐標，進而求得EM的長度．根據△MNE為等腰直角三角形，求得EQ的長度，進而表示出△QAB的面積，根據|AB|范圍確定三角形面積的最大值．

解答：解：（1）由

OC

=t

OM

+(1-t)

ON

(t∈R)，知點C的軌跡是M，N兩點所在的直線，
故點C所在的軌跡方程是

y+3

x-1

=

1+3

5-1

，即y=x-4．
設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則

OD

=（x₁，y₁），

OE

=(x2，y2)，
由

y=x-4 y2=2px

，得（x-4）²=2px，
∴x²-（2p+8）x+16=0．
∴x₁x₂=16，x₁+x₂=2p+8，
∴y₁y₂=（x₁-4）（x₂-4）=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=-8p，
∵

OD

⊥

DE

，∴

OD

•

DE

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴16-8p=0，
∴p=2，
∴拋物線方程為y²=4x．
（2）（i）直線l的方程為y=x-a
將y=x-a代入y²=2px，
得x²-2（a+p）x+a²=0．
設直線l與拋物線兩個不同的交點坐標為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則

4(a+p)2-4a2＞0 x1+x2=2(a+p) x1x2=a2

又y₁=x₁-a，y₂=x₂-a，
∴| AB |=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4a2+16ap+8p2

．
∵0＜|AB|≤2p，
∴0＜4a²+16ap+8p²≤4p²．
解得(-2-

3

)p≤a＜(-2-

2

)p或(-2+

2

)p＜a≤(-2+

3

)p．
（ii）設AB的垂直平分線交AB于點E，令坐標為（x₃，y₃），則由中點坐標公式，得x3=

x1+x2

2

=a+p，y3=

y1+y2

2

=

(x1-a)+(x2-a)

2

=p．
∴|EM|²=（a+p-a）²+（p-0）²=2p²，
又△MNE為等腰直角三角形，
∴|EQ|=|EM|=

2

p
∴S△QAB =

1

2

 |AB||EQ|=

1

2

|AB|•|EQ|
=

2

2

p|AB|≤

2

2

p•2p=

2

p2，
即△QAB面積最大值為

2

p2．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．