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若函數f（x）定義域內有兩個任意實數x1，x2，滿足f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，則稱函數f（x）為凸函數，下列函數中是凸函數的為
 
．
①f（x）=3x+1，②f(x)=
1
x
x∈（-∞，0），③f（x）=x2-3x-2，④f（x）=-|x+1|
分析：由題意，直接代入計算
f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)的值，判斷是否恒大于0即可．
解答：解：①
f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)=
3x1+1+3x2+1
2
-3
x1+x2
2
+1=0，不是凸函數；
②
f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)=
1
x1
+
1
x2
2
-
1
x1 +x2
2
=
2(x1-x2) 2
(x1 +x2) x1x2
符號不確定，故不為凸函數
③
f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)=
x12-3x1-2+x22-3x2-2
2
-(
x1+x2
2
)2+3
x1+x2
2
+2
=(
x1-x2
2
)2＞0，故為凸函數．
④
f(x1)+f(x2)
2
-f(
x1+x2
2
)=
-|x1+1|-|x2+1|
2
+|
x1 +x2
2
+1|，
取x1=1，x2=2則上式為0，故不是凸函數．
故答案為：③
點評：本題為新定義問題，考查函數的解析式、對新定義的理解和計算．
練習冊系列答案
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若函數f（x）定義域為R且f（x）=ex+x2-x+sinx，則曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程是
y=x+1
y=x+1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•貴陽模擬）若函數f（x）定義域為R，滿足對任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），則稱f（x）為“V形函數”；若函數g（x）定義域為R，g（x）恒大于0，且對任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）+lgg（x2），則稱g（x）為“對數V形函數”．
（1）當f（x）=x2時，判斷f（x）是否為V形函數，并說明理由；
（2）當g（x）=x2+2時，證明：g（x）是對數V形函數；
（3）若f（x）是V形函數，且滿足對任意x∈R，有f（x）≥2，問f（x）是否為對數V形函數？證明你的結論．

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（-3，3）
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．

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-6
-6
．

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