Question

應用題
如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD的邊上有一點P，沿著折線BCDA，由B（起點）向點A（終點）運動，設點P運動路程為x，△ABP的面積為y，求
（1）y與x之間的函數關系式；
（2）畫出y=f（x）的圖象，并寫出其單調區間及值域．

Answer 1

分析：（1）先求出定義域，然后根據點P的位置進行分類討論，根據三角形的面積公式求出每一段△ABP的面積與P移動的路程間的函數關系式，最后用分段函數進行表示即可；
（2）根據每一段的函數解析式畫出每一段的函數圖象，結合函數圖象即可求出函數的單調區間及值域．

解答：解：（1）由于x=0與x=12時，三點A、B、P不能構成三角形，故這個函數的定義域為（0，12）．
當0＜x≤4時，S=y=

1

2

•4•x=2x；
當4＜x≤8時，S=y=8；
當8＜x＜12時，S=y=

1

2

•4•（12-x）=2（12-x）=24-2x．
∴這個函數的解析式為
y=

2x   x∈(0，4] 8       x∈(4，8] 24-2x  x∈(8，12)

；
（2）y=f（x）的圖象為右上圖，
由圖知函數在（0，4]上單調遞增，在（4，8）無單調性，在（8，12）上單調遞減，
函數y=f（x）的值域為（0，8]．

點評：本題主要考查了函數解析式的求解，以及分段函數的圖象等有關基礎知識，分類討論的數學思想，屬于基礎題．