Question

已知函數f（x）=-x²+2bx-b
（1）當b=2時，求函數y=f（x） 在[1，4]上的最值；
（2）若函數y=f（x） 在[1，4]上僅有一個零點，求b的取值范圍；
（3）是否存在實數b，使得函數y=f（x） 在[1，+∞）上的最大值是2，若存在，求出b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當b=2時，函數y=f（x）的圖象為開口向下，對稱軸為x=2的拋物線，故函數y=f（x） 在[1，2]上為增函數，在[2，4]上為減函數，由此判斷出最值，求出即可；
（2）若函數y=f（x） 在[1，4]上僅有一個零點，則f（1）•f（4）≤0，由此構造關于b的不等式，解不等式可得b的取值范圍；
（3）分b＜1時，和b≥1時，結合 二次函數的圖象和性質分析出函數的最大值為2時，對應的b值，最后綜合討論結果，可得答案．
解答：解：f（x）=-x²+2bx-b=-（x-b）²-b+b²，的圖象開口向下，對稱軸為x=b的拋物線…（1分）
（1）當b=2時，f（x）=-x²+4x-2=-（x-2）²+2的圖象開口向下，對稱軸為x=2…（2分）
∴f（x）_max=f（2）=2，
f（x）_min=f（4）=-2…（4分）
（2）∵函數y=f（x） 在[1，4]上僅有一個零點
∴f（1）•f（4）≤0…（6分）（須驗證端點是否成立與△=0的情況）
即（-1+b）（-16+7b）≤0
∴
∴b的取值范圍是…（7分）
（3）當b＜1時，y=f（x） 在[1，+∞）上是減函數，
f（x）_max=f（1）=b-1=2
解得b=3，不合要求…（9分）
當b≥1時，
解得b=2或b=-1（不合，舍去），
∴b=2…（11分）
綜上所述，當b=2時，使得函數y=f（x） 在[1，+∞）上的最大值是2．…（12分）
點評：本題考查的知識點是二次函數在閉區間上的最值，函數的值域，函數的零點，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．