Question

已知曲線C：x²-y|y|=1．
（1）畫出曲線C的圖象，
（2）若直線l：y=x+m與曲線C有兩個公共點，求m的取值范圍；
（3）若過點P（0，2）的直線與曲線C在x軸上方的部分交于不同的兩點M，N，求t=

OM

•

OP

+

OM

•

PN

的范圍．

Answer 1

分析：（1）去掉絕對值，將曲線化為兩段曲線，分別畫出這兩段曲線即可；
（2）直線y=x+m的斜率為1，先討論y≤0時有兩個公共點時m的取值范圍，再討論y＞0時有一個公共點時m的取值范圍，最后將兩個范圍合并即可；
（3）設出直線方程方程，與曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理及向量知識，利用k的范圍，即可確定t的范圍．

解答：解：（1）當y＞0時，x²-y²=1（2分）
當y≤0時x²+y²=1（2分）
曲線C的圖象，如圖所示…（計4分）
（2）若l：y=x+m與x²+y²=1（y≤0）有兩個公共
點，則d=

|m|

2

∈[

2

2

，1），解得m∈(-

2

，-1]  …（6分）
若l：y=x+m與x²+y²=1（y≤0）和x²-y²=1
（y＞0）各有一個公共點，
則由圖象知，m∈（-1，0）…（8分）
∴m的取值范圍是(-

2

，0)                   …（9分）
（3）設過點P（0，2）的直線為y=kx+2
則由圖象知，k∈（-1，1），…（10分）
設M，N的坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則由

y=kx+2 x2-y2=1

得（1-k²）x²-4kx-5=0，
∴x1+x2=

4k

1-k2

，x1x2=

-5

1-k2

…（12分）
∴t=

OM

•

OP

+

OM

•

PN

=

OM

•(

OP

+

PN

)=

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=(1+k2)•

-5

1-k2

+2k•

4k

1-k2

+4=

3k2-5

1-k2

+4=1+

2

k2-1

∵k∈（-1，1），∴0≤k²＜1，∴-1≤k²-1＜0，∴

1

k2-1

≤-1
∴1+

2

k2-1

≤-1，∴t≤-1…（14分）

點評：本題綜合考查了直線與圓，直線與雙曲線的關系，解題時要善于使用數(shù)形結合的思想方法，善于分類討論，做到不重不漏，屬于中檔題．