Question

（2011•順義區二模）對于定義域分別為M，N的函數y=f（x），y=g（x），規定：
函數h(x)=

f(x)•g(x)，當x∈M且x∈N f(x)，當x∈M且x∉N g(x)，當x∉M且x∈N

（1）若函數f(x)=

1

x+1

，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函數h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x²+2x+2，設b_n為曲線y=h（x）在點（a_n，h（a_n））處切線的斜率；而{a_n}是等差數列，公差為1（n∈N^*），點P₁為直線l：2x-y+2=0與x軸的交點，點P_n的坐標為（a_n，b_n）．求證：

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

＜

2

5

；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常數，且α∈[0，2π]，請問，是否存在一個定義域為R的函數y=f（x）及一個α的值，使得h（x）=cosx，若存在請寫出一個f（x）的解析式及一個α的值，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數f(x)=

1

x+1

，g(x)=x2+2x+2，x∈R，可得M={x|x≠-1}，N=R．從而h(x)=

x2+2x+2 x+1 ，x≠-1 1，x=-1

．由此能求出函數h（x）的取值集合．
（2）由h（x）=x²+2x+2，知h'（x）=2x+2，所以b_n=g'（a_n）=2a_n+2，由點P_n（a_n，b_n）在直線l上，且a₁=-1，又{a_n}是等差數列，公差為1，知a_n=n-2，b_n=2n-2故P_n（n-2，2n-2），由此能夠證明

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

＜

2

5

．（3）由函數y=f（x）的定義域為R，得g（x）=f（x+a）的定義域為R．所以，對于任意x∈R，都有h（x）=f（x）•g（x）
即對于任意x∈R，都有cosx=f（x）•f（x+a），所以，令f(x)=

2

cos(

x

2

-

π

4

)，且α=π，即可．

解答：解：（1）由函數f(x)=

1

x+1

，g(x)=x2+2x+2，x∈R可得M={x|x≠-1}，N=R
從而h(x)=

x2+2x+2 x+1 ，x≠-1 1，x=-1

當x＞-1時，h(x)=

x2+2x+2

x+1

=

(x+1)2+1

x+1

=x+1+

1

x+1

≥2
當x＜-1時，h(x)=

x2+2x+2

x+1

=

(x+1)2+1

x+1

=-(-x-1+

1

-x-1

)≤-2
所以h（x）的取值集合為{y|y≤-2，或y≥2或y=1}…．（5分）
（2）易知h（x）=x²+2x+2，
所以h'（x）=2x+2所以b_n=g'（a_n）=2a_n+2
顯然點P_n（a_n，b_n）在直線l上，且a₁=-1，
又{a_n}是等差數列，公差為1
所以a_n=n-2，b_n=2n-2故P_n（n-2，2n-2），又P₁（-1，0）
所以|P1Pn|=

5

(n-1)(n≥2)
所以

1

|P1P2|2

+

1

|P1P3|2

+…+

1

|P1Pn|2

=

1

5

[1+

1

22

+

1

32

+…+

1

(n-1)2

]＜

1

5

[1+

1

1•2

+

1

2•3

+…+

1

(n-2)(n-1)

]
=

1

5

[1+1-

1

n-1

]＜

2

5

…..（8分）
（3）由函數y=f（x）的定義域為R，
得g（x）=f（x+a）的定義域為R，
所以，對于任意x∈R，都有h（x）=f（x）•g（x）
即對于任意x∈R，都有cosx=f（x）•f（x+a）
所以，我們考慮將cosx分解成兩個函數的乘積，
而且這兩個函數還可以通過平移相互轉化
cosx=cos2

x

2

-sin2

x

2

=(cos

x

2

+sin

x

2

)(cos

x

2

-sin

x

2

)
=

2

cos(

x

2

-

π

4

)•

2

cos(

x

2

+

π

4

)
所以，令f(x)=

2

cos(

x

2

-

π

4

)，
且α=π，即可    …..（13分）
又cosx=1-2sin2

x

2

=(1+

2

sin

x

2

)(1-

2

sin

x

2

)
所以，令f(x)=1+

2

sin

x

2

，
且α=2π，即可（答案不唯一）

點評：本題數列與不等式的綜合，結合三角函數的性質的處理問題，對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，注意三角函數性質的靈活運用．